Aprimorando seus Conhecimentos: Matemática 2°ano

Função trigonométrica

Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenómenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário. Na análise matemática, estas funções recebem definições ainda mais gerais, na forma de séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos complexos.
Atualmente, existem seis funções trigonométricas básicas em uso, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão conforme tabela abaixo. As inversas destas funções são chamadas de função de arco ou funções trigonométricas inversas. A nomenclatura é feita através do prefixo "arco-", ou seja, arco seno, arco co-seno, etc. Matematicamente, são designadas por "arcfunção", i.e., arcsen, arccos, etc.; a notação usando-se −1 como na notação da função inversa não é recomendada, pois causa confusão com o inverso multiplicativo, como em sen^-1 e cos^-1. O resultado da função inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Por exemplo:

$\operatorname{arcsen}(1) = \frac{\pi}{2}$

pois

$\operatorname{sen}\,\frac{\pi}{2} = 1$ .

fonte: wikipedia

Razões trigonométricas

Catetos e Hipotenusa

Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos.
Observe a figura:

Hipotenusa:

Catetos:

Seno, Cosseno e Tangente

Considere um triângulo retângulo BAC:

Hipotenusa:

, m(

) = a. Catetos:

, m(

) = b.

, m(

) = c.
Ângulos:

Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:

Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Assim:

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Assim:

fonte: Só Matemática

Trigonometria: Seno, Cosseno e Tangente

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo03.htm

Matemática Essencial: Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria Superior Cálculos
Trigonometria: Seno, Cosseno e Tangente
Seno e cosseno Tangente Ângulos no segundo quadrante Ângulos no terceiro quadrante Ângulos no quarto quadrante Simetria em relação ao eixo OX	Simetria em relação ao eixo OY Simetria em relação a origem Ângulos notáveis Primeira relação fundamental Segunda relação fundamental Forma polar de número complexo Soma e diferença de ângulos

Seno e cosseno

Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre um arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos.

Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B=(0,y').
A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é definida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a).

Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos

sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k

)=y'

Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de medida x radianos.

Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa x' do ponto M.

Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos

cos(AM) = cos(a) = cos(a+2k

) = x'

Tangente

Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a.

Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:

tan(AM) = tan(a) = tan(a+k

) = µ(AT) = t'

Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos.
Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso:

cos(0)=1, sen(0)=0 e tan(0)=0

Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes

Ângulos no segundo quadrante

Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao intervalo

/2<a<

. Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto M=(x,y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa.

Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso:

cos(

/2)=0 e sen(

/2)=1

A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas.

Ângulos no terceiro quadrante

O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao intervalo:

<a<3

/2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) do primeiro quadrante, em relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva.

Em particular, se a=

radianos, temos que

cos(

)=-1, sen(

)=0 e tan(

)=0

Ângulos no quarto quadrante

O ponto M está no quarto quadrante, 3

/2<a< 2

. O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa.

Quando o ângulo mede 3

/2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a=3

/2, temos:

cos(3

/2)=0, sin(3

/2)=-1

Simetria em relação ao eixo OX

Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M' o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e M' possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.

Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM', obtemos:

sen(a) = -sen(b)
cos(a) = cos(b)
tan(a) = -tan(b)

Simetria em relação ao eixo OY

Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico a M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M' possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.

Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo:

sen(a) = sen(b)
cos(a) = -cos(b)
tan(a) = -tan(b)

Simetria em relação à origem

Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico de M em relação a origem, estes pontos M e M' possuem ordenadas e abscissas simétricas.

Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo:

sen(a) = -sen(b)
cos(a) = -cos(b)
tan(a) = tan(b)

Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis

Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita frequência em exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no círculo trigonométrico.

Primeira relação fundamental

Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas da Matemática e também das aplicações é:

sin²(a) + cos²(a) = 1

que é verdadeira para todo ângulo a.
Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do que a relação de Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x',y') e B=(x",y").

Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), como:

Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por (cos(a),sen(a)) e a distância deste ponto até a origem (0,0) é igual a 1. Utilizando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos, d(M,0)=[(cos(a)-0)²+(sen(a)-0)²]^1/2, de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a).

Segunda relação fundamental

Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função tangente, é dada por:

tan(a) =	sen(a) cos(a)

Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular.
Se a=0, a=

ou a=2

, temos que sen(a)=0, implicando que tan(a)=0, mas se a=

/2 ou a=3

/2, segue que cos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores de a.
Para a

0, a

, a

/2 e a

/2, considere novamente a circunferência trigonométrica na figura seguinte.

Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo:

AT MN	=	OA ON

com a

/2 e a

/2 temos

tan(a) =	sen(a) cos(a)

Forma polar dos números complexos

Um número complexo não nulo z=x+yi, pode ser representado pela sua forma polar:

z = r [cos(c) + i sen(c)]

onde r=|z|=R[x²+y²], i²=-1 e c é o argumento (ângulo formado entre o segmento Oz e o eixo OX) do número complexo z.

A multiplicação de dois números complexos na forma polar:

A = |A| [cos(a)+isen(a)]
B = |B| [cos(b)+isen(b)]

é dada pela Fórmula de De Moivre:

AB = |A||B| [cos(a+b)+isen(a+b)]

Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar os seus módulos e somar os seus argumentos.
Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso

A = cos(a) + i sen(a)
B = cos(b) + i sen(b)

Multiplicando A e B, obtemos

AB = cos(a+b) + i sen(a+b)

Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para todo número complexo z e também para todo número real z:

e^iz = cos(z) + i sen(z)

Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra forma para representar números complexos unitários A e B, como:

A = e^ia = cos(a) + i sen(a)
B = e^ib = cos(b) + i sen(b)

onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim,

e^i(a+b) = cos(a+b)+isen(a+b)

Por outro lado

e^i(a+b) = e^ia . e^ib = [cos(a)+isen(a)] [cos(b)+isen(b)]

e desse modo

e^i(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
+ i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)]

Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logo

cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
sen(a+b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)

Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da soma

cos(a+(-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b)
sen(a+(-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a)

para obter

cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
sen(a-b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b)

Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença

Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0£a£2

e 0£b£2

, a>b, então;

sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)

Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos:

tan(a+b)=	sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b) cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)

Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:

tan(a+b)=	tan(a)+tan(b) 1-tan(a)tan(b)

Como

sen(a-b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b)
cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)

fonte: http://matematicadekelsio.blogspot.com.br/2009/09/trigonometria-seno-cosseno-e-tangente.html

TRIGONOMETRIA

A onda marítima mais alta registrada oficialmente foi medida a bordo do navio norte-americano Ramapo, durante a noite de 6 de fevereiro de 1993. Utilizando cálculos trigonométricos, o tenente Margraff pôde averiguar que a onda tinha, até a sua crista, uma altura aproximada de 34 metros.

A palavra trigonometria (do grego trigono=triangular e metria=medida) teve origem na resolução de problemas práticos relacionados principalmente à navegação e à Astronomia.

Acredita-se que, como ciência, a Trigonometria nasceu com o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C.-125 a.C.). Este grande astrônomo criou uma matemática aplicada para prever os eclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração de calendários mais precisos e maior segurança na navegação. Hiparco ficou conhecido como pai da Trigonometria, por ter estudado e sistematizado algumas relações entre os elementos de um triângulo.

A trigonometria, que relaciona as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos, é de grande utilidade na medição de distâncias inacessíveis ao ser humano, como a altura de montanhas, torres e árvores, ou a largura de rios e lagos. Por esse motivo, a Trigonometria foi considerada em sua origem, como uma extensão da Geometria.

Ela não se limita ao estudo de triângulos. Encontramos aplicações da Trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina, na Astronomia e até na Música.

Há indícios de que os babilônicos (habitantes da antiga Mesopotâmia, hoje Iraque) efetuaram estudos rudimentares de trigonometria.

Mais tarde, a Astronomia, estudada por egípcios e gregos, foi a grande impulsora do desenvolvimento da Trigonometria.

Sistemas Lineares

Equação linear
Equação linear é toda equação da forma:

a₁x₁ + a₂x₂+ a₃x₃ + ... + a_nx_n = b

em que a₁, a₂, a₃, ... , a_n são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas

x₁, x₂,x₃, ... , x_n, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).

Veja alguns exemplos de equações lineares:

3x - 2y + 4z = 7	-2x + 4z = 3t - y + 4
(homogênea)

As equações a seguir não são lineares:

xy - 3z + t = 8

x²- 4y = 3t - 4

Sistema linear
Um conjunto de equações lineares da forma:

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.

A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r₁, r₂, r₃,..., r_n) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.
Matrizes associadas a um sistema linear

A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:

matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.

Em relação ao sistema:

a matriz incompleta é:

matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sitema.

Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

Sistemas homogêneos

Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:

Veja um exemplo:

A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.

Classificação de um sistema quanto ao número de soluções

Resolvendo o sistema

, encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).

No caso do sistema

, verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).

Para

, verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).

Resumindo, um sistema linear pode ser:

a) possível e determinado (solução única);
b) possível e indeterminado (infinitas soluções);
c) impossível (não tem solução).

Sistema normal

Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.

Se m=n e det A

0, então o sistema é normal.

Regra de Cramer

Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

em que i

{ 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e D_xié o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Discussão de um sistema linear

Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:

a) possível e determinado, se D=det A

0; caso em que a solução é única.

Exemplo:

m=n=3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.

b) possível e indeterminado, se D= D_x1= D_x2 = D_x3 = ... = D_xn= 0, para n=2. Se n

3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais.

Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.

Exemplo:

D=0, D_x=0, D_y=0 e D_z=0

Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.

c) impossível, se D=0 e

D_xi

0, 1

n; caso em que o sistema não tem solução.

Exemplo:

Como D=0 e D_x0, o sistema é impossível e não apresenta solução.

Sistemas Equivalentes

Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.

Por exemplo, dados os sistemas:

verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S₁e S₂são equivalentes: S₁ ~ S_2.

Propriedades

a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.

Por exemplo:

S₁~S₂

b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K

IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

S₁~S₂

c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K

IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Por exemplo:

Dado

, substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos:

S₁~S₂, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas.

Sistemas escalonados

Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.

Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.

Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:

a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.

b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.

c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:

I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)

Exemplo 1:

1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:

Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:

Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:

Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.

-2z=-6

z=3

Substituindo z=3 em (II):

-7y - 3(3)= -2

-7y - 9 = -2

y=-1

Substituindo z=3 e y=-1 em (I):

x + 2(-1) + 3= 3

x=2

Então, x=2, y=-1 e z=3

Exemplo 2:

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:

Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -3 com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação:

Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação:

Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema é impossível.

II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)

Exemplo:

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:

Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -1 com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação

O sistema está escalonado. Como m<n, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. A diferença entre o número de incógnitas (n) e o de equações (m) de um sistema nessas condições é chamada grau de indeterminação (GI):

GI= n - m

Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:

Consideramos o sistema em sua forma escalonada:

Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:

GI = n-m = 4-3 = 1

Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor

, supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo t=

, substituindo esse valor na 3º equação, obtemos:

12z - 6

= 30

12z= 30 + 6

Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2º equação:

Conhecidos z,t e y, substituímos esses valores na 1º equação:

Assim, a solução do sistema é dada por S=

, com

IR.

Para cada valor que seja atribuído a

, encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema.

Determinantes

Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).

A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

Determinante de 1ª ordem

Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a₁₁], o seu determinante é o número real a₁₁:

det M =Ia₁₁I = a₁₁

Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

Por exemplo:

M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5

M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3

Determinante de 2ª ordem
Dada a matriz

, de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

Menor complementar

Chamamos de menor complementar relativo a um elemento a_ij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MC_ij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por a_ij .

Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:

a) Dada a matriz

, de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a₁₁(MC₁₁), retiramos a linha 1 e a coluna 1:

Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a₁₂ é:

b) Sendo

, de ordem 3, temos:

Cofator
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento a_ij de uma matriz quadrada de ordem n o número A_ijtal que A_ij = (-1)^i+j . MC_ij .
Veja:
a) Dada

, os cofatores relativos aos elementos a₁₁ e a₁₂ da matriz M são:

b) Sendo

, vamos calcular os cofatores A₂₂, A₂₃ e A₃₁:

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada M = [a_ij]_mxn

pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.

Assim, fixando

, temos:

em que

é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m,

Regra de Sarrus

O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos essa regra para

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Assim:

Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.

Determinante de ordem n > 3

Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.

Propriedades dos determinantes

Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:

P₁ ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.

Exemplo:

P₂) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P₃) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P₄) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.

Exemplos:

P₅ ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

P₆) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

Exemplo:

P₇) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

Exemplos:

P₈) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
Exemplo:

P₉) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:

P₁₀) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por

.
Exemplos:

P₁₁) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n,

. Como:

Exemplo:

P₁₂)

Exemplo:

Matrizes

Introdução

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo.

A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:

	Química	Inglês	Literatura	Espanhol
A	8	7	9	8
B	6	6	7	6
C	4	8	5	9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.

Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.

Veja mais alguns exemplos:

é uma matriz do tipo 2 x 3
é uma matriz do tipo 2 x 2

Notação geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [a_ij]_{m
x n}, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a₂₃ é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

Na matriz

, temos:

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a₁₁= -1, a₁₂ = 0, a₁₃ = 2 e a₁₄ = 5.

Denominações especiais

Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.

Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,, do tipo 3 x 1
Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos a_ijtais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.

Veja:

Observe a matriz a seguir:

a₁₁ = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1

a₃₁= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)

Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0_{m x
n.}

Por exemplo,

Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:

Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por I_n, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:

Assim, para uma matriz identidade

Matriz transposta: matriz A^t obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A^t é do tipo n x m.

Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A^t e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de A^t.

Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = A^t . Por exemplo,

é simétrica, pois a₁₂ = a₂₁ = 5, a₁₃= a₃₁ = 6, a₂₃ = a₃₂ = 4, ou seja, temos sempre a _ij = a _ij.

Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, .

Igualdade de matrizes

Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:

Operações envolvendo matrizes

Adição

Dadas as matrizes

, chamamos de soma dessas matrizes a matriz

, tal que C_ij = a_ij + b_ij , para todo

A + B = C

Exemplos:

Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Propriedades

Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:

a) comutativa: A + B = B + A

b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)

c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n

d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0

Subtração

Dadas as matrizes

, chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:

A - B = A + ( - B )

Observe:

Multiplicação de um número real por uma matriz

Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, b_ij = xa_ij:

B = x.A

Observe o seguinte exemplo:

Propriedades

Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: x . (yA) = (xy) . A

b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB

c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA

d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A

Multiplicação de matrizes

O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.

Assim, o produto das matrizes A = ( a_ij) _{m x p} e B = ( b_ij) _{p x n} é a matriz C = (c_ij)_{m x n} em que cada elemento c_ij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

Vamos multiplicar a matriz

para entender como se obtém cada C_ij:

1ª linha e 1ª coluna

1ª linha e 2ª coluna

2ª linha e 1ª coluna

2ª linha e 2ª coluna

Assim,

Observe que:

Portanto,

.A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:

A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):

Se A_{3 x 2} e B _{2 x 5} , então ( A . B ) _{3 x 5}
Se A _{4 x 1} e B _{2 x 3}, então não existe o produto
Se A _{4 x 2} e B _{2 x 1}, então ( A . B ) _{4 x 1}

Propriedades

Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )

b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C

c) elemento neutro: A . I_n= I_n . A = A, sendo I_n a matriz identidade de ordem n

Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 _{m x n} uma matriz nula, A .B =0 _{m x n} não implica, necessariamente, que A = 0 _{m x n} ou B = 0 _{m x n}.

Matriz inversa

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = I_n , então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A^-1 .

fonte: Só matemática

Trigonometria

Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.
A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. A trigonometria é comumente ensinada no Ensino Médio.

Sobre a trigonometria

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais. O fato crucial sobre triângulos semelhantes é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior que o lado do triângulo similar, então o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.
Usando estes fatos, definem-se as funções trigonométricas, começando pelos triângulos retângulos (triângulos com um ângulo reto 90 graus ou π/2 radianos). O maior lado em um triângulo qualquer é sempre o lado oposto ao maior ângulo e devido a soma dos ângulos de um triângulo ser 180 graus ou π radianos, o maior ângulo em um triângulo retângulo é o ângulo reto. O maior lado nesse triângulo, consequentemente, é o lado oposto ao ângulo reto, chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos.
Dois triângulos retângulos que compartilham um segundo ângulo $A$ são necessariamente similares, e a proporção (ou razão) entre o comprimento do lado oposto a $A$ e o comprimento da hipotenusa será, portanto, a mesma nos dois triângulos. Este valor será um número entre 0 e 1 que depende apenas de $A$ . Este número é chamado de seno de A e é escrito como $\operatorname{sen}(A)$ . Similarmente, pode-se definir :

o cosseno (ou co-seno) de $A$ : é a proporção do comprimento do cateto adjacente ao ângulo $A$ em relação ao comprimento da hipotenusa
a tangente trigonométrica de $A$ : é a proporção do comprimento do cateto oposto ao ângulo $A$ em relação ao comprimento do cateto adjacente
a co-tangente de $A$ : é a proporção do comprimento do cateto adjacente ao ângulo $A$ em relação ao comprimento do cateto oposto - é o inverso da tangente
a secante trigonométrica de $A$ : é a proporção do comprimento da hipotenusa em relação ao comprimento do cateto adjacente ao ângulo $A$ - é o inverso do cosseno
a co-secante de $A$ : é a proporção do comprimento da hipotenusa em relação ao comprimento do cateto oposto ao ângulo $A$ - é o inverso do seno.
Círculo Trigonométrico

Círculo trigonométrico

A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o ramo da Matemática que estuda a proporção, fixa, entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, para os diversos valores de um dos seus ângulos agudos. (Entre estes ângulos, os de 30º, 45º e 60º são denominados ângulos notáveis.) As proporções entre os 3 lados dos triângulos retângulos são denominadas de seno, cosseno, tangente e cotangente, dependendo dos lados considerados na proporção.
Já o Círculo Trigonométrico é um recurso criado para facilitar a visualização destas proporções entre os lados dos triângulos retângulos. Ele consiste em uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos 2 eixos de um plano cartesiano ortogonal, ou seja, um plano definido por duas retas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no ponto onde elas se cortam. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no ciclo: o sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no sentido contrário ao anterior.

Seno
Dado um triângulo retângulo, o seno de um dos seus 2 ângulos agudos é a proporção entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento da hipotenusa, calculada, como toda proporção, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da proporção.
No círculo trigonométrico, o seno de um ângulo qualquer pode ser visualizado na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo vertical.

Cosseno

Dado um triângulo retângulo, o cosseno de um dos seus 2 ângulos agudos é a proporção entre o comprimento do cateto adjacente a este ângulo e o comprimento da hipotenusa, calculada, como toda proporção, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da proporção.

No círculo trigonométrico, o cosseno de um ângulo qualquer pode ser visualizado na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo horizontal.

Como o cosseno é esta projeção, e o raio do ciclo trigonométrico é igual a 1, segue que, $\forall x\in\mathbb{R},-1\leq\operatorname{cos}(x)\leq1$ , ou seja, a imagem do cosseno é o intervalo fechado $[-1,1]$ .

Tangente

Dado um triângulo retângulo, a tangente de um dos seus 2 ângulos agudos é a proporção entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento do cateto adjacente a ele, calculada, como toda proporção, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da proporção.

No círculo trigonométrico, o valor da tangente de um ângulo qualquer pode ser visualizado na reta vertical que tangencia este círculo no ponto em que ele corta o eixo horizontal do lado direito. Nesta reta tangente ao círculo trigonométrico, o valor da tangente trigonométrica de qualquer ângulo é representado pelo segmento que vai do ponto em que ela corta o eixo horizontal até o ponto em que ela corta a reta que contém o raio do círculo trigonométrico para o ângulo considerado. Para avaliar este valor, deve-se compará-lo com o raio do círculo trigonométrico que, por definição, é igual a 1, de preferência quando este raio se encontra sobre a parte superior do eixo ortogonal vertical. Observe que, enquanto o seno e o coseno são sempre menores do que o raio do círculo trigonométrico e, portanto, menores do que 1, a tangente trigonométrica pode ser tanto menor quanto maior do que 1.

Algumas relações

O círculo unitário

$\mbox{sen} A = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{hipotenusa}}$

$\qquad \cos A = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{hipotenusa}}$
Estas são as mais importantes funções trigonométricas; outras funções podem ser definidas tomando as razões dos outros lados de um triângulo retângulo, mas podem ser expressas em termos de seno e cosseno. São elas a tangente, secante, cotangente, e cossecante.

$\tan A = {\mbox{sen} A \over \cos A} = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{cateto adjacente}}$

$\qquad \sec A = {1 \over \cos A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto adjacente}}$

$\cot A = {\cos A \over \mbox{sen} A} = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{cateto oposto}}$

$\qquad \csc A = {1 \over \mbox{sen} A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto oposto}}$

Até então, as funções trigonométricas tem sido definidas por ângulos entre 0 e 90 graus (0 e π/2 radianos) apenas. Usando um círculo unitário, pode-se estendê-los para todos argumentos positivos e negativos (veja função trigonométrica).

Relógio de sol

Uma vez que as funções seno e cosseno tenham sido tabuladas (ou computadas por uma calculadora), pode-se responder virtualmente todas questões sobre triângulos arbitrários, usando a lei dos senos e a lei dos cossenos. Estas leis podem ser usadas para calcular os ângulos restantes e lados de qualquer triângulo bem como dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado ou três lados conhecidos.
Alguns matemáticos acreditam que a trigonometria foi originalmente inventada para calcular relógios de sol, um tradicional exercício em antigos livros. Isto é também muito importante para a agrimensura.

Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras estabelece que "A soma do quadrado das medidas dos catetos (lados que formam o ângulo de 90°, neste caso a e b) é igual ao quadrado da medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°, ou c)". Assim: c ² = a ² + b ². Um corolário desse teorema é que se os dois catetos forem de mesmo tamanho, a hipotenusa vale o produto do cateto pela raiz quadrada de 2.

Aplicações da trigonometria
Existem diversas aplicações da trigonometria e das funções trigonométricas. Por exemplo, a técnica da triangulação é usada em astronomia para estimar a distância das estrelas próximas; em geografia para estimar distâncias entre divisas e em sistemas de navegação por satélite. As funções seno e cosseno são fundamentais para a teoria das funções periódicas, as quais descrevem as ondas sonoras e luminosas.
Campos que fazem uso da trigonometria ou funções trigonométricas incluem astronomia (especialmente para localização de posições aparentes de objetos celestes, em qual a trigonometria esférica é essencial) e portanto navegação (nos oceanos, em aviões, e no espaço), teoria musical, acústica, óptica, análise de mercado, eletrônica, teoria da probabilidade, estatística, biologia, equipamentos médicos (por exemplo, Tomografia Computadorizada e Ultrassom), farmácia, química, teoria dos números (e portanto criptologia), sismologia, meteorologia, oceanografia, muitas das ciências físicas, solos (inspeção e geodesia), arquitetura, fonética, economia, engenharia, gráficos computadorizados, cartografia, cristalografia e desenvolvimento de jogos.

Identidades Trigonométricas
Algumas equações envolvendo funções trigonométricas são verdade para todos os ângulos e são conhecidas como "identidades trigonométricas". Muitas expressam relações geométricas importantes. Por exemplo, as identidades Pitagoreanas são uma expressão do Teorema de Pitágoras. Aqui há algumas das identidades mais comumente utilizadas, assim como as fórmulas mais importantes conectando ângulos e lados de um triângulo arbitrário.

Fórmula fundamental da trigonometria e seus corolários

$\begin{align} \operatorname{sen}^2 A + \cos^2 A &= 1 \\ \tan^2 A + 1 &= \sec^2 A \\ 1+\cot^2 A &= \csc^2 A \end{align}$

Identidades de soma e subtração

$\begin{align} \mbox{sen}(A \pm B) &= \mbox{sen} A \cos B \pm \mbox{sen} B \cos A \\ \cos(A \pm B) &= \cos A \cos B \mp \mbox{sen} A \mbox{sen} B \\ \tan(A \pm B) &= \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \\ \cot(A \pm B) &= \frac{\cot A \cot B \mp 1}{\cot B \pm \cot A} \end{align}$

Fórmulas da duplicação do ângulo

$\begin{align} \operatorname{sen}(2A)&= 2 \operatorname{sen} A \cos A \\ \cos(2A)&= \cos^2 A - \operatorname{sen}^2 A \\ &= 2 \cos^2 A -1 \\ &= 1-2 \operatorname{sen}^2 A \\ &= {1 - \tan^2 A \over 1 + \tan^2 A}\\ \tan(2A)&= \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}\\ &= \frac{2 \cot A}{\cot^2 A - 1}\\ &= \frac{2}{\cot A - \tan A} \end{align}$

Fórmulas da divisão do ângulo em dois
Note que $\pm$ significa que pode haver qualquer dos dois sinais, dependendo do valor de $A/2$ .

$\begin{align} \operatorname{sen} \frac{A}{2} &= \pm {\sqrt\frac{1-\cos A}{2}} \\ \cos \frac{A}{2} &= \pm {\sqrt\frac{1+\cos A}{2}} \\\tan \frac{A}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} \end{align}$

Identidades triangulares

As identidades que se seguem referem-se a um triângulo com ângulos $A$ , $B$ e $C$ e lados de comprimentos $a$ , $b$ e $c$ , como na figura ao lado. Repare que o lado oposto ao ângulo $A$ é o de comprimento $a$ , o lado oposto ao ângulo $B$ é o de comprimento $b$ e o lado oposto ao ângulo $C$ é o de comprimento $c$ .

Lei dos senos

A lei dos senos para um triângulo arbitrário diz:

$\frac{\operatorname{sen} A}{a} = \frac{\operatorname{sen} B}{b} = \frac{\operatorname{sen} C}{c},$
ou equivalentemente:

$\frac{a}{\operatorname{sen} A} = \frac{b}{\operatorname{sen} B} = \frac{c}{\operatorname{sen} C} = 2R$

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos (também conhecida como fórmula dos cossenos) é uma extensão do teorema de Pitágoras para triângulos arbitrários:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\,$
ou equivalentemente:

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\,$
o teorema de pitágoras é um caso particular da Lei dos Cossenos, quando o cosseno de 90°é 0.

Lei das tangentes
A lei das tangentes:

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}$

$\frac{b+c}{b-c}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(B+C)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(B-C)\right]}$

$\frac{a+c}{a-c}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A+C)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A-C)\right]}$
Como saber o ângulo interno de um triângulo retângulo

Sendo:

$tan(A)=\frac{sen(A)}{cos(A)}$
em que:
Sen(A) é comprimento do cateto oposto e
Cos(A) A o comprimento do cateto adjacente.