Matemática 1°ano

  Função Quadrática
  Definição
    Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
    Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

  1. f(x) = 3x2 - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
  2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
  3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
  4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
  5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico
    O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
    Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
    Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
    Observação:
   Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
  • se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
  • se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau
    Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
    Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
    Temos:
                   
Observação
   A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:
  • quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
  • quando é zero, há só uma raiz real;
  • quando é negativo, não há raiz real.
  Coordenadas do vértice da parábola
   Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:

Imagem
     O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + ca 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0,
a > 0
 
2ª quando a < 0,
a < 0
Construção da Parábola
   É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
  1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
  2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
  3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
  4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos  y é o eixo de simetria da parábola;
  5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então  (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.
Sinal
   Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
    Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:
1º -  > 0
   Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é  o indicado nos gráficos abaixo:
quando a > 0
y > 0 (x < x1 ou x > x2)
y < 0 x1 < x < x2

quando a < 0
y > 0 x1 < x < x2
y < 0 (x < x1 ou x > x2)
 2º -  = 0
quando a > 0
 
quando a < 0
                

 3º -  < 0
quando a > 0
quando a < 0


Função de 1º grau
  Definição
 Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico
    O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
    Exemplo:
    Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
    Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

    a)    Para   x = 0, temos   y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
    b)    Para   y = 0, temos   0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .

    Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
x y
0 -1
0
    Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
    O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
    O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
Zero e Equação do 1º Grau
   Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a0, o número real x tal que  f(x) = 0.
   Temos:
   f(x) = 0        ax + b = 0       
   Vejamos alguns exemplos:
  1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
                                        f(x) = 0        2x - 5 = 0       
  2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
                                        g(x) = 0        3x + 6 = 0        x = -2
       
  3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:
    O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
        h(x) = 0        -2x + 10 = 0        x = 5
 
Crescimento e decrescimento
   Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -10 -7 -4 -1 2 5 8
      Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes
    valores de y também aumentam. Dizemos, então que a
    função y = 3x - 1 é crescente.
   Observamos novamente seu gráfico:
Regra geral:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);

Justificativa:
  • para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
  • para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).Sinal
       Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
        Consideremos  uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:

      1º) a > 0 (a função é crescente)
             y > 0       ax + b > 0         x >
             y < 0      ax + b < 0         x <
        Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz
    2º) a < 0 (a função é decrescente)
              y > 0  ax + b > 0            x <
             y < 0  ax + b < 0        x >

    Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é  negativo para valores de x maiores que a raiz.

  fonte: Só Matemática

Conjunto

Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A .
Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro.

 

Importância

Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos.

Notação matemática

É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por meio de uma:
  1. lista os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos);
  2. definição de uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell, em Principia Mathematica);
  3. representação gráfica.
A notação padrão em Matemática lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto). Um conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como:
A=\left\{1, 2, 3 \right\}\,\!
Como a ordem não importa em conjuntos, isso é equivalente a escrever, por exemplo:
A=\left\{1, 2, 2, 1, 3, 2\right\}\,\!
Um conjunto A B C D E F G H I J também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário pertence ou não a A. Por exemplo, a frase "B é o conjunto dos triângulos retângulos" define perfeitamente o conjunto B, já que permite decidir se um objeto qualquer é ou não elemento de B. O mesmo conjunto A do parágrafo anterior poderia ser representado por uma regra:
A= \left\{ x\,|\,x \mbox{ é um número inteiro tal que } 0 < x < 4 \right\}
ou ainda:
A= \left\{ x\,:\,x \mbox{ é um número natural tal que } 1 \le  x \le  3 \right\}
Note que as propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por : ou por |. Também é possível representar graficamente os conjuntos. O Diagrama de Venn-Euler é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

Conceitos essenciais

  • Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;
  • Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;
  • Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Se a é um elemento de A, podemos dizer que o elemento a pertence ao conjunto A e podemos escrever a \in A . Se a não é um elemento de A , nós podemos dizer que o elemento a não pertence ao conjunto A e podemos escrever a \not\in A.

    Axiomas e propriedades

    Os axiomas e propriedades dos conjuntos seguem um contexto metodológico isomórfico à lógica das proposições.

    Subconjuntos próprios e impróprios

    Se A \,\! e B \,\! são conjuntos e todo o elemento x \,\! pertencente a A \,\! também pertence a B \,\!, então o conjunto A \,\! é dito um subconjunto do conjunto B \,\!, denotado por A \subseteq B. Note que esta definição inclui o caso em que A e B possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (A=B). Se A \subseteq B e ao menos um elemento pertencente a B \,\! não pertence a A \,\!, então A \,\! é chamado de subconjunto próprio de B \,\!, denotado por A \subset B. Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, entretanto não se enquadra na definição de subconjunto próprio, e é chamado de subconjunto impróprio.

    A \subseteq B

Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por { } ou \emptyset.
Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Cardinalidade

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número cardinal n.
Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser \aleph_0 (aleph-0), \aleph_1, \aleph_2 ....
Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto A é denotada por |A|. Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então  |A|=|B| .

Conjunto potência ou de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de A, denotado por P(A)\,\!. O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.
Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos ou o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de A é 2^n, ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a 2^n. Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A e o conjunto \{0,1\}^A, é usual representar-se P(A) por 2^A\,\!.
O Teorema de Cantor estabelece que |A| < |P(A)|\,\!.

Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:
A \times B= \{(a,b) : a \in A \and b \in B\}
A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto
A + B = A \times \{0\} \cup B \times \{1\}.

Função 

Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas. Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um elemento y, também denotado por f(x). Existem inúmeros tipos de funções matemáticas, entre as principais temos: função sobrejetora, função injetora, função bijetora, função trigonométrica, Função linear, função modular, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras. Cada função é definida por leis generalizadas e propriedades específicas. 

Propriedades da Função Exponencial

  • Sendo a > 0 e a ≠ 1, tem-se que ax=at↔ x = t;
  • A função exponencial ƒ(x)=ax é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a>1;
  • A função exponencial ƒ(x)=ax é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0<a<1;
  • Toda função exponencial, isto é, ƒ(x)=ax com a ∈ R+* e a ≠ 1 é bijetora;


A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita como ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:
A função exponencial é achatada para x negativos, e cresce rapidamente para x positivos.
A curva ex jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se aproximar deste.
e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots
e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n
Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.
O valor de e^1 é aproximadamente  2{.}718281828
Se x é real, então ex é sempre positivo e crescente. Consequentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logaritmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:
a^x = e^{x \ln a}
Para todo a > 0 e x \in \mathbb{R}.
A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial.
As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais:
a^0 = 1
a^1 = a
a^{x + y} =  a^x a^y
a^{x y} = \left( a^x \right)^y
{1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}
a^x b^x = (a b)^x
Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem frequentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque:
{1 \over a} = a^{-1}




\sqrt[c]{a}^b = a^{b \over c}

Função exponencial e equações diferenciais

A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções são múltiplas de suas próprias derivadas:
{d \over dx} a^x = (\ln a) a^x
Se a taxa de crescimento ou de decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho, como é o caso de um crescimento populacional ilimitado, juros continuamente computados ou decaimento radiativo, então a variável pode ser escrita como uma função exponencial do tempo.
A função exponencial então resolve a equação diferencial básica
{dy \over dx} = y
e é por essa razão comumente encontrada em equações diferenciais. Em particular a solução de equações diferenciais ordinárias pode freqüentemente ser escrita em termos de funções exponenciais. Essas equações incluem a equação de Schrödinger e a equação de Laplace assim como as equações para o movimento harmônico simples.

Função exponencial no plano complexo

Quando considerada como uma função definida no plano complexo, a função exponencial retém as importantes propriedades:
e^{z + w} = e^z e^w
e^0 = 1
e^z \ne 0
{d \over dz} e^z = e^z
para todos z e w. A função exponencial no plano complexo é uma função holomórfica que é periódica com o período imaginário 2 \pi i que pode ser escrita como
e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)
onde a e b são valores reais. Essa fórmula conecta a função exponencial com as funções trigonométricas, e essa é a razão que estendendo o logaritmo neperiano a argumentos complexos resultam na função multivalente ln(z). Nós podemos definir como uma exponenciação mais geral:: z^w = e^{w \ln z} para todos os números complexos z e w.
Isto é também uma função multivalente. As leis exponenciais mencionadas acima permanecem verdade se interpretadas propriamente como afirmações sobre funções multivalentes.
É fácil ver, que a função exponencial descreve qualquer curva no plano complexo a uma espiral logarítmica no plano complexo com centro em 0, nada como o caso de uma reta paralela com os eixos reais ou imaginários descrevem uma curva ou um círculo.

Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach

A definição de função exponencial exp dada acima pode ser usada palavra por palavra para cada álgebra de Banach, e em particular para matrizes quadradas. Neste caso temosa
e^{x + y} = e^x e^y
se xy = yx (deveríamos adicionar a fórmula geral envolvendo comutadores aqui)
e^0 = 1
ex é invertível com inverso e-x
a derivada da exp no ponto x é aquela descrição linear que transforma u em u·ex.
No contexto das álgebras de Banach não comutativas, como as álgebras de matrizes ou operadores no espaço de Banach ou de Hilbert, a função exponencial é frequentemente considerada como uma função de um argumento real:
f(t) = e^{t A}
onde A é um elemento fixo da álgebra e t é qualquer número real. Essa função tem importantes propriedades:
f(s + t) = f(s) f(t)
f(0) = 1
f'(t) = A f(t)

Mapa exponencial nas álgebras de Lie

O "mapa exponencial" que passa uma álgebra de Lie a um grupo de Lie compartilha as propriedades acima, o que explica a terminologia. De fato, desde que R é uma álgebra de Lie de um grupo de Lie de todos os números positivos reais com multiplicação, a função exponencial para argumentos reais é um caso especial da situação da álgebra de Lie. Similarmente, desde que a álgebra de Lie M (n, R) de todas as matrizes reais quadradas pertence ao grupo de Lie de todas as matrizes quadradas invertíveis, a função para matrizes quadradas é um caso especial do mapa exponencial da álgebra de Lie.

fonte: wikipedia

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